Tích của 2 số tự nhiên

3 nhân 4 bằng 12

Đặt các viên đá vào một hình chữ nhật có  r {\displaystyle r} hàng và s {\displaystyle s} cột cho ra

r ⋅ s = ∑ i = 1 s r = ∑ j = 1 r s {\displaystyle r\cdot s=\sum _{i=1}^{s}r=\sum _{j=1}^{r}s}

viên đá.

Tích của 2 số nguyên

Số nguyên gồm số dương và số âm. Hai số được nhân tương tự các số tự nhiên, ngoại trừ quy tắc bổ sung về dấu của kết quả:

× − + − + − + − + {\displaystyle {\begin{array}{|c|c c|}\hline \times &-&+\\\hline -&+&-\\+&-&+\\\hline \end{array}}}

Nói thành lời:

• Âm nhân Âm ra Dương
• Âm nhân Dương ra Âm
• Dương nhân Âm ra Âm
• Dương nhân Dương ra Dương

Tích của 2 phân số

Nhân hai phân số bằng cách nhân tử số với tử số, mẫu số với mẫu số:

z n ⋅ z ′ n ′ = z ⋅ z ′ n ⋅ n ′ {\displaystyle {\frac {z}{n}}\cdot {\frac {z'}{n'}}={\frac {z\cdot z'}{n\cdot n'}}}

Tích của 2 số thực

Xem Xây dựng trường số thực cho định nghĩa chính xác của tích của 2 số thực.

Tích của 2 số phức

Nhân 2 số phức bằng luật phân phối và định nghĩa i 2 = − 1 {\displaystyle \mathrm {i} ^{2}=-1} :

( a + b i ) ⋅ ( c + d i ) = a ⋅ c + a ⋅ d i + b ⋅ c i + b ⋅ d ⋅ i 2 = ( a ⋅ c − b ⋅ d ) + ( a ⋅ d + b ⋅ c ) i {\displaystyle {\begin{aligned}(a+b\,\mathrm {i} )\cdot (c+d\,\mathrm {i} )&=a\cdot c+a\cdot d\,\mathrm {i} +b\cdot c\,\mathrm {i} +b\cdot d\cdot \mathrm {i} ^{2}\\&=(a\cdot c-b\cdot d)+(a\cdot d+b\cdot c)\,\mathrm {i} \end{aligned}}}

Ý nghĩa hình học của phép nhân số phức

Biễu diễn số phức trong hệ tọa độ cực.

Số phức có thể được viết trong hệ tọa độ cực:

a + b i = r ⋅ ( cos ⁡ ( φ ) + i sin ⁡ ( φ ) ) = r ⋅ e i φ {\displaystyle a+b\,\mathrm {i} =r\cdot (\cos(\varphi )+\mathrm {i} \sin(\varphi ))=r\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \varphi }}

Hơn thế,

c + d i = s ⋅ ( cos ⁡ ( ψ ) + i sin ⁡ ( ψ ) ) = s ⋅ e i ψ {\displaystyle c+d\,\mathrm {i} =s\cdot (\cos(\psi )+\mathrm {i} \sin(\psi ))=s\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \psi }} , mà từ đó ta có: ( a ⋅ c − b ⋅ d ) + ( a ⋅ d + b ⋅ c ) i = r ⋅ s ⋅ ( cos ⁡ ( φ + ψ ) + i sin ⁡ ( φ + ψ ) ) = r ⋅ s ⋅ e i ( φ + ψ ) {\displaystyle (a\cdot c-b\cdot d)+(a\cdot d+b\cdot c)\,\mathrm {i} =r\cdot s\cdot (\cos(\varphi +\psi )+\mathrm {i} \sin(\varphi +\psi ))=r\cdot s\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {i} (\varphi +\psi )}}

Ý nghĩa hình học là chúng ta nhân các độ dài và cộng các góc.

Tích của 2 quaternion

Tích của 2 quaternion có thể được tìm thấy trong bài viết về quaternions. Tuy nhiên cũng cần lưu ý điểm thú vị rằng a ⋅ b {\displaystyle a\cdot b} và b ⋅ a {\displaystyle b\cdot a} nói chung là phân biệt.